Математическая модель рыночной экономики принятая в

БД «Справочник прогнозных цен».

Москва 2000 Морозов Б.С.

Математическая модель рыночной экономики, принятая в БД «Справочник прогнозных цен» основана на понятии жизненного цикла товара.

Жизненный цикл товара имеет несколько стадий, которые называются: Внедрение, Рост, Зрелость, Насыщение, Спад . Скорость реализации продукции в эти периоды вначале растет, затем снижается. Принципиальный вид этой кривой изображен на рис 1*

Каждому этапу жизненного цикла товара соответствует определенное соотношение цены и себестоимости производства товара. Принципиальный вид кривых, отражающих изменение цены и себестоимости товара можно описать следующим образом. Себестоимость производства товара вначале высокая, затем снижается и в конце жизненного цикла опять растет. Цена на товар, появившийся на рынке вначале низкая, затем, по мере завоевания популярности начинает расти, затем при появлении конкурирующих товаров начинает снижаться и в конце может стать даже ниже себестоимости. Внешний вид этих кривых изображен на рисунке 2.

Рис 2

Мы бы сказали, что любое изделие существует как товар лишь тогда, когда цена на товар превышает себестоимость. Иными словами товар существует только между точками пересечения цены и себестоимости товара. Продавая товар с прибылью, мы всегда находимся между точкой рождения товара и точкой смерти товара.

Изучая ретроспективу жизни товара, мы всегда можем предположить перспективу работы с конкретным товаром. Изучая жизненный цикл товара на основе изменения цены во времени, мы, очевидно, сможем определить срок жизни товара. Это важный показатель, однако этих данных не достаточно для того, чтобы определить объем необходимых инвестиций, сумму возможной выручки, предельную величину возможной прибыли или определить объем производства товара. Для ответа на эти вопросы необходимо изучить закономерность изменения цены и себестоимости товара в зависимости от накопленного объема производства.

Если бы скорость реализации товара оставалась неизменной в течение жизненного цикла товара, кривая зависимости цены и себестоимости в зависимости от накопленного объема реализации имела бы точно такой же вид, как и кривая изменения этих показателей во времени, изображенная на рис 2. Это означает, что по мере накопления реализованных товаров закономерность изменения цены и себестоимости не меняется: вначале цена растет, затем падает, вначале себестоимость падает, затем растет. Срок жизни товара можно определить в накопленных объемах производства. Он будет равен накопленному объему производства между точкой рождения товара и точкой смерти товара. Тот факт, что фактическая скорость реализации товара различна на разных этапах жизни товара, никак не влияет на качественное наличие этих двух важных точек в жизненном цикле товара. Изучая изменение цены и себестоимости по мере роста накопленного объема реализованного товара, мы сможем определить объем необходимых инвестиций, объем возможной выручки, предельную величину прибыли и предельный объем производства товара.

Как же определить эти точки? В качестве функции прогноза в БД «Справочник прогнозных цен» используется экспоненциальная функция вида:

Y = b * m ^ X (1)

Использование этой функции определяется тем обстоятельством, что эта функция отвечает базовому требованию цены. Функция никогда не становится отрицательной, как и цена. Допускается, что значения объема закупок и объема продаж всегда больше нуля.

Логарифмирование уравнения (1) превращает его в линейное уравнение:

LnY = Ln b + X * Ln m (2)

Введем обозначения: Ln b = a, Ln m = k, LnY = Z (3)

Уравнение (2) превращается в уравнение (3)

Z = a + k *X (4)

Коэффициенты “a” и “k” определяются статистическими методами на основе изучения фактических данных ретроспективы.

Точку пересечения двух прямых можно определить следующим образом

Z1 = a1 + k1 *X

Z2 = a2 + k2 *X

В точке пересечения Z1 = Z2

a1 + k1 *X = a2 + k2 *X (5)

Х = (a1 - a2) / (k2 - k1) (6)

Или в логарифмическом виде

Х = (Ln b1 – Ln b2) / (Ln m2 – Ln m1) (7)

Y = b1 * m1 ^ X = b2 * m2 ^X

Таким образом система уравнений (7) позволяет рассчитать точку пересечения кривой Цены и кривой себестоимости.

Расчет пределов затрат, выручки, прибыли и объема производства.

Изучение зависимостей изменения цены и себестоимости во времени позволило нам определить вероятные сроки рождения и смерти товара. При всей важности этой информации для планирования производства товара этой информации нам не достаточно. Для планирования производства товара нам необходимо определить объем производства, предельную сумму затрат на производство и возможную выручку от реализации товара до истечения срока жизни товара.

Определить эти показатели можно на основе изучения изменения цены и себестоимости товара в зависимости от накопленного объема реализации товара. В этом случае точки пересечения цены и себестоимости товара характеризуют накопленный объем реализованного товара к моменту его рождения как товара и к моменту его исчезновения как товара с конкретного рынка. Площадь под кривой себестоимости в этом случае характеризует объем затрат, необходимых для производства товара, а площадь под кривой цены характеризует выручку от реализации товара.

Определить эту площадь можно, как известно, интегрированием функции (1), принятой в качестве основной для прогноза показателей себестоимости и цены.

X_пред X_пред X_пред

S = ? b * m ^ X = b * ? m ^ X = b * m^X / Ln (m) | (8)

X_нач X_нач X_нач

где

S – площадь под кривой удельного показателя себестоимости, построенной в зависимости от накопленного объема реализации продукции. Показывает сумму затрат необходимую для производства продукции.

S – площадь под кривой удельного показателя цены реализации, построенной в зависимости от накопленного объема реализации продукции. Показывает сумму выручки полученной от реализации продукции.

Х_нач – накопленный объем реализованной продукции к концу ретроспективы и к началу прогноза.

X_пред – накопленный объем реализованной продукции к предельной дате жизни товара

‘b – коэффициент экспоненциальной кривой из формулы (1), определяемый статистическими методами.

‘m - коэффициент экспоненциальной кривой из формулы (1), определяемый статистическими методами.

Когда у нас известны пределы интегрирования, скажем от настоящего момента, до момента исчезновения товара, то формула (8) преобразуется к виду:

S (Х2)-S(Х1) = b / Ln (m) * (m^Xпред –m^Xнач) (9)

Где Xпред и Xнач пределы интегрирования.

Хнач – накопленный объем реализации товара к моменту начала прогноза

Хпред – накопленный объем реализации товара к предельному моменту в жизни товара

Предел возможной прибыли можно рассчитать по формуле

Sp = Sv – Sz (10)

Где

Sp - Предел возможной прибыли до момента исчезновения товара

Sv – Предел возможной выручки до момента исчезновения товара

Sz - Предел допустимых затрат до момента исчезновения товара

Используя формулу (9) можно написать для предела возможной выручки

Sv = bv/ Ln (mv) * (mv^Xпред - mv^Xнач) (11)

Где bv , mv коэффициенты экспоненциальной кривой (1) для показателя цены

Для предела возможных затрат можно написать

Sz = bz/ Ln (mz) * (mz^Xпред - mz^Xнач) (12)

Где bz , mz коэффициенты экспоненциальной кривой (1) для удельного показателя себестоимости продукции

Поскольку речь идет о точке пересечения кривой удельного показателя себестоимости и кривой удельного показателя цены продажи, то Xпред и Xнач для обеих кривых одинаковы.

Используя формулу (10) для предела возможной прибыли можно написать

Sp = bv/ Ln (mv) * (mv^Xпред - mv^Xнач) - bz/ Ln (mz) * (mz^Xпред - mz^Xнач) (12a)

Где

‘bv , mv коэффициенты экспоненциальной кривой (1) для показателя цены

‘bz , mz коэффициенты экспоненциальной кривой (1) для удельного показателя себестоимости

Xнач – Накопленный объем реализованной продукции к конечной дате ретроспективы или, что то же самое, началу прогноза.

Хпред – Накопленный объём реализованной продукции к предельному моменту в жизни товара.